구름(rolling)에 대한 고찰

1. 구름의 정의 

 구름현상은 자주 등장하는 kinematic constraint들 중 하나이다. 물리학에서 물체의 구름 현상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

지면 위를 구르는 물체의 바닥과의 접점의 속력은 정확히 0과 같다.

좀 더 자세히 설명하자면, 물체의 접점의 속력은 물체의 무게중심의 병진운동 속력 V와 회전운동 속력 v가 정확히 상쇄된 상태이다. 따라서, 일반적으로 미끄러지는 물체의 경우, 접점의 속력이 0이 아니고 V-v만큼의 속력으로 나아가고 있는 것이다.

2. 구르는 물체의 마찰력, 구름 마찰? 운동 마찰? 정지 마찰?

 마찰이 없는 지면 위를 +x방향으로 V만큼의 속력으로 이동하는 물체가 마찰이 있는 지면을 만난다고 생각해보자. 이 순간, 접점의 속력 역시 V이고 물체는 병진운동을 방해하는 방향으로(-x방향) 마찰력을 받는다.  동시에 이 마찰력은 무게중심을 기준으로 한 토크를 작용시켜 물체를 회전시킨다. 이 상황에서의 접점의 속력은 원래 무게중심의 속력 V(t)와 물체가 회전하는 속력 Rw(t)의 차이로 정의된다. 즉, v = V(t) -Rw(t)인 것이다. 시간이 지날 수록 w(t)는 커지고, V(t)는 줄어들기 때문에 v = 0이 되는 시점이 올 것이다.

 v =0 인 시점이 찾아오면 어떻게 될까? 이것은 무엇을 의미하는가? 마찰이 있는 지면에서 미끄러지는 물체의 무게중심 속력 V(t)를 감소시킨 힘은 물체에 대한 운동마찰력이다. 여기서 지면과 물체와 맞닿아 있는 접점의 속력이 0이라면, 지면은 맞닿아 있는 물체가 운동을 하지 않는 것이라 인식할 것이다.따라서  작용할 수 있는 마찰력은 정지마찰력이 있지만, 정지마찰력은 물체 외부에 힘이 가해지지 않은 경우 반드시 0이기 때문에, 외력 없이 지면을 단순히 구르는 위의 물체에 대해서 정지마찰력 역시 0이 된다. 결론적으로 v = 0이 된다면 구르는 물체에 대해 접점에 가해지는 마찰력은 존재하지 않기 때문에 무게중심의 속력도 줄어드는 것을 멈추고, 회전속력이 증가하는 것도 멈추게 된다. 즉, v = V(t) -Rw(t) = 0으로 유지될 것이다. 따라서 관성의 법칙에 의해 한번 구르기 시작한 물체는 영원히 구르게 된다.

그렇다면 두 가지 의문이 생긴다. 1. 일상 생활에서 구르는 물체가 왜 정지하는가? 2. 구름 마찰이라는 것은 도대체 무엇일까? 이 질문에 대한 답을 아래와 같이 제시하겠다.

일상 생활의 물체는 강체가 아니라서 회전을 하면서 찌그러짐과 복원이 반복되어 일어난다. 이 과정에서 에너지 소비가 발생하여 시간이 지날 수록 물체는 정지하는데,
이 접촉면의 변형을 일으키는 힘이 바로 구름 마찰이다.

따라서, 강체가 아닌 일반 물체들은 구름 마찰에 의해 언젠가는 정지하게 되어 있지만, 구름 마찰의 계수는 운동 마찰계수 및 정지 마찰계수 보다 훨씬 작기 때문에 일상생활에서 둥그런 물체를 쉽게 굴릴 수 있는 것이다. 

위의 내용들을 정리해보면 아래와 같다.

1. 외력이 없는 한, 한번 구르기 시작한 이상적인 강체에 작용하는 마찰력은 존재하지 않는다. 따라서 이 물체는 영원히 구름 운동을 지속한다.

2. 구름 마찰은 오로지 모든 물체가 완벽히 강체가 아니기 때문에 일어나는 것이다.

3. 구르는 물체의 접점의 속력은 맞닿아 있는 바닥의 속력(보통 0)과 같다. 바닥이 가속된다면 이 가속되는 속력이 곧 접점의 속력이 된다. 

3. 구르는 물체에 가속을 일으키는 힘이 작용한다면?

 만약 구르는 물체에 힘이 작용한다면, 마찰력의 방향은 어느 쪽이 되는가? 물체 무게중심의 병진운동을 방해하려는 방향인가, 물체 회전을 방해하려는 방향인가?

구르는 물체의 접점의 속력은 0이므로, 외력이 작용하는 물체에 작용하는 마찰력은 정지마찰력이다. 그렇다면 이 외력에 대한 정지마찰력의 방향은 어떻게 결정되는가? 이는 다음과 같이 말할 수 있다.

물체가 회전운동과 병진운동을 병행한다면, 

마찰의 방향은 이 두 운동 중에서 더 영향력이 큰 운동을 방해하려는 방향으로 일어난다.

 이는 뉴턴 방정식을 직접 세워서 토크에 대한 운동방정식과, 무게중심에 대한 운동방정식을 세워서 정성적으로 파악할 수도 있다.

2016.08.08 작성